Kas yra paaiškinta „Big O“ žymėjimas: erdvės ir laiko sudėtingumas

Ar tikrai suprantate Big O? Jei taip, tai atnaujins jūsų supratimą prieš interviu. Jei ne, nesijaudinkite - ateikite ir prisijunkite prie kai kurių pastangų informatikos srityje.

Jei lankėte keletą su algoritmais susijusių kursų, tikriausiai girdėjote apie „ Big O“ žymėjimą . Jei to nepadarėte, mes tai apžvelgsime čia ir tada giliau suprasime, kas tai yra iš tikrųjų.

„Big O“ žymėjimas yra vienas iš pagrindinių kompiuterių mokslininkų įrankių algoritmo sąnaudų analizei. Tai yra gera praktika programinės įrangos inžinieriams suprasti ir nuodugniai.

Šis straipsnis parašytas darant prielaidą, kad jūs jau sukūrėte tam tikrą kodą. Be to, tam tikra išsami medžiaga reikalauja aukštųjų mokyklų matematikos pagrindų, todėl pradedantiesiems gali būti šiek tiek mažiau patogu. Bet jei esate pasirengęs, pradėkime!

Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime „Big O“ žymėjimą. Pradėsime nuo algoritmo pavyzdžio, kad galėtume atverti savo supratimą. Tada mes šiek tiek pereisime prie matematikos, kad suprastume oficialiai. Po to mes apžvelgsime keletą bendrų „Big O“ žymėjimo variantų. Pabaigoje aptarsime kai kuriuos „Big O“ apribojimus praktiniame scenarijuje. Turinį galima rasti žemiau.

Turinys

  1. Kas yra „Big O“ žymėjimas ir kodėl tai svarbu
  2. Oficialus „Big O“ žymėjimo apibrėžimas
  3. Didysis O, mažasis O, Omega ir Theta
  4. Tipiškų „Big Os“ sudėtingumo palyginimas
  5. Laiko ir erdvės sudėtingumas
  6. Geriausias, vidutinis, blogiausias, laukiamas kompleksiškumas
  7. Kodėl Big O nesvarbu
  8. Pabaigoje…

Taigi pradėkime.

1. Kas yra „Big O“ žymėjimas ir kodėl tai svarbu

„Didysis O žymėjimas yra matematinis žymėjimas, apibūdinantis ribojantį funkcijos elgesį, kai argumentas linksta į tam tikrą vertę ar begalybę. Tai Paulo Bachmanno, Edmundo Landau ir kitų sugalvotų užrašų šeimos narys, bendrai vadinamas Bachmanno – Landau notacija arba asimptotine notacija. “-„ Wikipedia “apibrėžimas„ Big O “žymėjimas

Paprastais žodžiais, „Big O“ žymėjimas apibūdina jūsų kodo sudėtingumą naudojant algebrinius terminus.

Norėdami suprasti, kas yra „Big O“ žymėjimas, galime pažvelgti į tipišką pavyzdį O (n²) , kuris paprastai tariamas „Big O kvadratas“ . Laiške "N" čia reiškia įvesties dydį ir funkciją "g (n) = n²" viduje "O ()" suteikia mums, kaip kompleksinis algoritmas yra susiję su įvesties dydžio idėją.

Tipiškas algoritmas, kurio sudėtingumas yra O (n²), būtų atrankos rūšiavimo algoritmas. Pasirinkimas Rūšiuoti yra rikiavimo algoritmas, kad kartojasi sąrašo užtikrinti kiekvieną Index elementas yra toji mažiausia / didžiausia elementas sąrašo. Žemiau pateiktas CODEPEN pateikia vizualų jo pavyzdį.

Algoritmą galima apibūdinti tokiu kodu. Kad įsitikinkite, kad toji elementas yra toji mažiausias elementas sąraše, šis algoritmas pirmieji kartojasi per sąrašą su už kilpos. Tada kiekvienam elementui jis naudoja kitą kilpą, kad rastų mažiausią elementą likusioje sąrašo dalyje.

SelectionSort(List) { for(i from 0 to List.Length) { SmallestElement = List[i] for(j from i to List.Length) { if(SmallestElement > List[j]) { SmallestElement = List[j] } } Swap(List[i], SmallestElement) } }

Pagal šį scenarijų mes laikome kintamąjį „ List“ kaip įvestį, taigi įvesties dydis n yra „ List“ elementų skaičius . Tarkime, kad teiginys „if“ ir vertės, kurį riboja „if“ sakinys, trukmė yra pastovi. Tada galime rasti didelę „SelectionSort“ funkcijos „O“ žymėjimą, analizuodami, kiek kartų vykdomi teiginiai.

Pirmiausia „internal for loop“ vykdo teiginius viduje n kartų. Ir tada, kai padidinsiu, vidinė ciklo dalis veikia n-1 kartą ... ... kol ji eina vieną kartą, tada abi „for“ kilpos pasiekia savo pabaigos sąlygas.

Tai iš tikrųjų mums suteikia geometrinę sumą, o atlikus kai kurias aukštosios mokyklos matematikas, pastebėsime, kad vidinė kilpa kartosis 1 + 2… + n kartus, o tai lygi n (n-1) / 2 kartus. Jei tai padauginsime, gausime n² / 2-n / 2.

Kai skaičiuojame didelę O žymėjimą, mums rūpi tik dominuojantys terminai ir mums nerūpi koeficientai. Taigi mes laikome n² kaip galutinį didįjį O. Rašome jį kaip O (n²), kuris vėl tariamas „Didelis O kvadratas“ .

Dabar jums gali kilti klausimas, kas yra šis „dominuojantis terminas“ ? Ir kodėl mums nerūpi koeficientai? Nesijaudinkite, mes juos apžvelgsime po vieną. Pradžioje tai gali būti šiek tiek sunku suprasti, bet visa tai bus daug prasmingiau, kai perskaitysite kitą skyrių.

2. Formalus Big O žymėjimo apibrėžimas

Kažkada buvo Indijos karalius, norėjęs apdovanoti išmintingą žmogų už jo meistriškumą. Išminčius neprašė nieko kito, tik kviečių, kurie užpildytų šachmatų lentą.

Bet čia buvo jo taisyklės: pirmoje plytelėje jis nori 1 grūdo kviečių, po to 2 ant antrosios, tada 4 ant kitos ... kiekviena šachmatų lentos plytelė turėjo būti užpildyta dvigubu grūdų kiekiu, kaip ankstesnė vienas. Naivus karalius nedvejodamas sutiko manydamas, kad tai bus nereikšmingas reikalavimas, kol jis iš tikrųjų bandė ...

Taigi, kiek kviečių grūdų karalius yra skolingas išminčiui? Mes žinome, kad šachmatų lentoje yra 8 kvadratai iš 8 kvadratų, iš viso 64 plytelės, taigi paskutinėje plytelėje turėtų būti 2⁶⁴ kviečių grūdų. Jei atliksite skaičiavimą internetu, gausite 1,8446744 * 10¹, tai yra apie 18, o po to - 18 nulių. Darant prielaidą, kad kiekvienas kviečių grūdas sveria 0,01 gramo, tai duoda 184 467 440 737 t kviečių. O 184 milijardai tonų yra gana daug, ar ne?

The numbers grow quite fast later for exponential growth don’t they? The same logic goes for computer algorithms. If the required efforts to accomplish a task grow exponentially with respect to the input size, it can end up becoming enormously large.

Now the square of 64 is 4096. If you add that number to 2⁶⁴, it will be lost outside the significant digits. This is why, when we look at the growth rate, we only care about the dominant terms. And since we want to analyze the growth with respect to the input size, the coefficients which only multiply the number rather than growing with the input size do not contain useful information.

Below is the formal definition of Big O:

The formal definition is useful when you need to perform a math proof. For example, the time complexity for selection sort can be defined by the function f(n) = n²/2-n/2 as we have discussed in the previous section.

If we allow our function g(n) to be n², we can find a constant c = 1, and a N₀ = 0, and so long as N > N₀, N² will always be greater than N²/2-N/2. We can easily prove this by subtracting N²/2 from both functions, then we can easily see N²/2 > -N/2 to be true when N > 0. Therefore, we can come up with the conclusion that f(n) = O(n²), in the other selection sort is “big O squared”.

You might have noticed a little trick here. That is, if you make g(n) grow supper fast, way faster than anything, O(g(n)) will always be great enough. For example, for any polynomial function, you can always be right by saying that they are O(2ⁿ) because 2ⁿ will eventually outgrow any polynomials.

Mathematically, you are right, but generally when we talk about Big O, we want to know the tight bound of the function. You will understand this more as you read through the next section.

But before we go, let’s test your understanding with the following question. The answer will be found in later sections so it won’t be a throw away.

Klausimas: vaizdą vaizduoja 2D taškų masyvas. Jei naudojate įdėtą kilpą, norėdami kartoti kiekvieną pikselį (t. Y. Turite „for“ kilpą, einančią per visus stulpelius, tada kitą, kad kilpa būtų viduje, kad pereitumėte visas eilutes), koks yra algoritmo laiko vaizdas laikomas įvestimi?

3. Didysis O, mažasis O, „Omega“ ir „Teta“

Didelis O: „f (n) yra O (g (n))“ iff kai kurioms konstantoms c ir N₀, f (N) ≤ cg (N) visoms N> N₀Omega: „f (n) yra Ω (g ( n)) „iff kai kurioms c ir N₀ konstantoms, f (N) ≥ cg (N) visiems N> N₀Teta:„ f (n) yra Θ (g (n)) “iff f (n) yra O (g (n)) ir f (n) yra Ω (g (n)) Mažasis O: „f (n) yra o (g (n))“, iff f (n) yra O (g (n)) ir f ( n) nėra Θ (g (n)) - formalus Big O, Omega, Theta ir Little O apibrėžimas

Paprastais žodžiais:

  • Big O (O()) describes the upper bound of the complexity.
  • Omega (Ω()) describes the lower bound of the complexity.
  • Theta (Θ()) describes the exact bound of the complexity.
  • Little O (o()) describes the upper bound excluding the exact bound.

For example, the function g(n) = n² + 3n is O(n³), o(n⁴), Θ(n²) and Ω(n). But you would still be right if you say it is Ω(n²) or O(n²).

Generally, when we talk about Big O, what we actually meant is Theta. It is kind of meaningless when you give an upper bound that is way larger than the scope of the analysis. This would be similar to solving inequalities by putting ∞ on the larger side, which will almost always make you right.

But how do we determine which functions are more complex than others? In the next section you will be reading, we will learn that in detail.

4. Complexity Comparison Between Typical Big Os

When we are trying to figure out the Big O for a particular function g(n), we only care about the dominant term of the function. The dominant term is the term that grows the fastest.

For example, n² grows faster than n, so if we have something like g(n) = n² + 5n + 6, it will be big O(n²). If you have taken some calculus before, this is very similar to the shortcut of finding limits for fractional polynomials, where you only care about the dominant term for numerators and denominators in the end.

But which function grows faster than the others? There are actually quite a few rules.

1. O(1) has the least complexity

Often called “constant time”, if you can create an algorithm to solve the problem in O(1), you are probably at your best. In some scenarios, the complexity may go beyond O(1), then we can analyze them by finding its O(1/g(n)) counterpart. For example, O(1/n) is more complex than O(1/n²).

2. O(log(n)) is more complex than O(1), but less complex than polynomials

As complexity is often related to divide and conquer algorithms, O(log(n)) is generally a good complexity you can reach for sorting algorithms. O(log(n)) is less complex than O(√n), because the square root function can be considered a polynomial, where the exponent is 0.5.

3. Complexity of polynomials increases as the exponent increases

For example, O(n⁵) is more complex than O(n⁴). Due to the simplicity of it, we actually went over quite many examples of polynomials in the previous sections.

4. Exponentials have greater complexity than polynomials as long as the coefficients are positive multiples of n

O(2ⁿ) is more complex than O(n⁹⁹), but O(2ⁿ) is actually less complex than O(1). We generally take 2 as base for exponentials and logarithms because things tends to be binary in Computer Science, but exponents can be changed by changing the coefficients. If not specified, the base for logarithms is assumed to be 2.

5. Factorials have greater complexity than exponentials

If you are interested in the reasoning, look up the Gamma function, it is an analytic continuation of a factorial. A short proof is that both factorials and exponentials have the same number of multiplications, but the numbers that get multiplied grow for factorials, while remaining constant for exponentials.

6. Multiplying terms

When multiplying, the complexity will be greater than the original, but no more than the equivalence of multiplying something that is more complex. For example, O(n * log(n)) is more complex than O(n) but less complex than O(n²), because O(n²) = O(n * n) and n is more complex than log(n).

To test your understanding, try ranking the following functions from the most complex to the lease complex. The solutions with detailed explanations can be found in a later section as you read. Some of them are meant to be tricky and may require some deeper understanding of math. As you get to the solution, you will understand them more.

Klausimas: Reitinguokite šias funkcijas nuo sudėtingiausių iki nuomos kompleksų. 2 skirsnio sprendimas Klausimas: iš tikrųjų tai buvo gudrus klausimas, siekiant patikrinti jūsų supratimą. Klausimas bando priversti jus atsakyti į O (n²), nes yra įdėta kilpa. Tačiau n turėtų būti įvesties dydis. Kadangi vaizdo masyvas yra įvestis ir kiekvienas taškas buvo kartojamas tik vieną kartą, atsakymas iš tikrųjų yra O (n). Kitame skyriuje apžvelgiama daugiau tokių pavyzdžių kaip šis.

5. Laiko ir erdvės kompleksiškumas

So far, we have only been discussing the time complexity of the algorithms. That is, we only care about how much time it takes for the program to complete the task. What also matters is the space the program takes to complete the task. The space complexity is related to how much memory the program will use, and therefore is also an important factor to analyze.

The space complexity works similarly to time complexity. For example, selection sort has a space complexity of O(1), because it only stores one minimum value and its index for comparison, the maximum space used does not increase with the input size.

Some algorithms, such as bucket sort, have a space complexity of O(n), but are able to chop down the time complexity to O(1). Bucket sort sorts the array by creating a sorted list of all the possible elements in the array, then increments the count whenever the element is encountered. In the end the sorted array will be the sorted list elements repeated by their counts.

6. Best, Average, Worst, Expected Complexity

The complexity can also be analyzed as best case, worst case, average case and expected case.

Let’s take insertion sort, for example. Insertion sort iterates through all the elements in the list. If the element is larger than its previous element, it inserts the element backwards until it is larger than the previous element.

If the array is initially sorted, no swap will be made. The algorithm will just iterate through the array once, which results a time complexity of O(n). Therefore, we would say that the best-case time complexity of insertion sort is O(n). A complexity of O(n) is also often called linear complexity.

Sometimes an algorithm just has bad luck. Quick sort, for example, will have to go through the list in O(n) time if the elements are sorted in the opposite order, but on average it sorts the array in O(n * log(n)) time. Generally, when we evaluate time complexity of an algorithm, we look at their worst-case performance. More on that and quick sort will be discussed in the next section as you read.

The average case complexity describes the expected performance of the algorithm. Sometimes involves calculating the probability of each scenarios. It can get complicated to go into the details and therefore not discussed in this article. Below is a cheat-sheet on the time and space complexity of typical algorithms.

Solution to Section 4 Question:

By inspecting the functions, we should be able to immediately rank the following polynomials from most complex to lease complex with rule 3. Where the square root of n is just n to the power of 0.5.

Then by applying rules 2 and 6, we will get the following. Base 3 log can be converted to base 2 with log base conversions. Base 3 log still grows a little bit slower then base 2 logs, and therefore gets ranked after.

The rest may look a little bit tricky, but let’s try to unveil their true faces and see where we can put them.

First of all, 2 to the power of 2 to the power of n is greater than 2 to the power of n, and the +1 spices it up even more.

And then since we know 2 to the power of log(n) with based 2 is equal to n, we can convert the following. The log with 0.001 as exponent grows a little bit more than constants, but less than almost anything else.

The one with n to the power of log(log(n)) is actually a variation of the quasi-polynomial, which is greater than polynomial but less than exponential. Since log(n) grows slower than n, the complexity of it is a bit less. The one with the inverse log converges to constant, as 1/log(n) diverges to infinity.

Faktorialus galima pavaizduoti daugybos būdu, todėl juos galima paversti papildymais, esančiais už logaritminės funkcijos ribų. „N pasirinkti 2“ galima paversti daugianariu, kurio kubinis terminas yra didžiausias.

Galiausiai galime suskirstyti funkcijas nuo sudėtingiausių iki mažiausiai sudėtingų.

Kodėl „BigO“ nesvarbu

!!! - ĮSPĖJIMAS - !!! Čia aptartas turinys dažniausiai nėra priimtinas daugelio pasaulio programuotojų. Interviu aptarkite tai savo pačių rizika . Žmonės iš tikrųjų rašė tinklaraštį apie tai, kaip jiems nepavyko interviu su „Google“, nes jie abejojo ​​valdžios institucijomis, kaip čia. !!! - ĮSPĖJIMAS - !!!

Since we have previously learned that the worst case time complexity for quick sort is O(n²), but O(n * log(n)) for merge sort, merge sort should be faster — right? Well you probably have guessed that the answer is false. The algorithms are just wired up in a way that makes quick sort the “quick sort”.

To demonstrate, check out this trinket.io I made. It compares the time for quick sort and merge sort. I have only managed to test it on arrays with a length up to 10000, but as you can see so far, the time for merge sort grows faster than quick sort. Despite quick sort having a worse case complexity of O(n²), the likelihood of that is really low. When it comes to the increase in speed quick sort has over merge sort bounded by the O(n * log(n)) complexity, quick sort ends up with a better performance in average.

I have also made the below graph to compare the ratio between the time they take, as it is hard to see them at lower values. And as you can see, the percentage time taken for quick sort is in a descending order.

The moral of the story is, Big O notation is only a mathematical analysis to provide a reference on the resources consumed by the algorithm. Practically, the results may be different. But it is generally a good practice trying to chop down the complexity of our algorithms, until we run into a case where we know what we are doing.

In the end…

Man patinka koduoti, mokytis naujų dalykų ir dalytis jais su bendruomene. Jei yra kažkas, kas jus ypač domina, praneškite man. Aš paprastai rašau apie interneto dizainą, programinės įrangos architektūrą, matematiką ir duomenų mokslą. Galite rasti puikių straipsnių, kuriuos rašiau anksčiau, jei jus domina kuri nors iš aukščiau pateiktų temų.

Tikiuosi, kad puikiai praleisite laiką mokydamiesi informatikos !!!