Kaip veikia naivūs Bayeso klasifikatoriai - su „Python“ kodo pavyzdžiais

Naivūs Bayes klasifikatoriai (NBC) yra paprasti, bet galingi mašininio mokymosi algoritmai. Jie pagrįsti sąlygine tikimybe ir Bayeso teorema.

Šiame įraše aš paaiškinu „triuką“ už NBC ir pateiksiu jums pavyzdį, kurį galime panaudoti spręsdami klasifikavimo problemą.

Kitose dalyse kalbėsiu apie NBC matematiką. Nedvejodami praleiskite tuos skyrius ir eikite į įgyvendinimo dalį, jei nesidomite matematika.

Įgyvendinimo skyriuje aš jums parodysiu paprastą NBC algoritmą. Tada mes jį panaudosime išspręsti klasifikavimo problemą. Užduotis bus nustatyti, ar tam tikras „Titaniko“ keleivis išgyveno avariją, ar ne.

Sąlyginė tikimybė

Prieš kalbėdami apie patį algoritmą, pakalbėkime apie paprastą matematiką. Turime suprasti, kas yra sąlyginė tikimybė ir kaip ją apskaičiuoti galime naudoti Bayeso teoremą.

Pagalvokite apie teisingą štampą iš šešių pusių. Kokia tikimybė gauti šešetuką ridenant štampą? Tai lengva, tai 1/6. Turime šešis galimus ir vienodai tikėtinus rezultatus, tačiau mus domina tik vienas iš jų. Taigi, 1/6 tai yra.

Bet kas nutiks, jei aš jums pasakysiu, kad aš jau suvyniojau štampą ir rezultatas yra lyginis skaičius? Kokia tikimybė, kad dabar turime šešetuką?

Šį kartą galimi rezultatai yra tik trys, nes ant matricos yra tik trys lyginiai skaičiai. Mes vis dar domimės tik vienu iš tų rezultatų, todėl dabar tikimybė yra didesnė: 1/3. Kuo skiriasi abu atvejai?

Pirmuoju atveju neturėjome išankstinės informacijos apie rezultatus. Taigi turėjome apsvarstyti kiekvieną galimą rezultatą.

Antruoju atveju mums buvo pasakyta, kad rezultatas buvo lyginis skaičius, todėl galimų rezultatų erdvę galėtume sutrumpinti tik iki trijų lyginių skaičių, atsirandančių įprastoje šešiašalėje mirštamojoje dalyje.

Apskritai, skaičiuojant įvykio A tikimybę, atsižvelgiant į kito įvykio B įvykį, mes sakome, kad mes apskaičiuojame sąlyginę A tikimybės B tikimybę arba tiesiog A tikimybę B. Mes ją žymime P(A|B).

Pavyzdžiui, iš vis šešis duotai tikimybei, kad skaičius mes turime dar: P(Six|Even) = 1/3. Čia mes pažymėjome „ Six“ - tai įvykis, kai gauname šešetą, ir su „ Even“, kai gauname lyginį skaičių.

Bet kaip apskaičiuoti sąlygines tikimybes? Ar yra formulė?

Kaip apskaičiuoti sąlyginius zondus ir Bayeso teoremą

Dabar pateiksiu porą formulių, kad apskaičiuotumėte sąlyginius zondus. Pažadu, kad jiems nebus sunku, ir jie yra svarbūs, jei norite suprasti mašininio mokymosi algoritmų, apie kuriuos kalbėsime vėliau, įžvalgas.

Įvykio A tikimybę, atsižvelgiant į kito įvykio B įvykį, galima apskaičiuoti taip:

P(A|B) = P(A,B)/P(B) 

Kur P(A,B)žymi A ir B tikimybę atsirasti tuo pačiu metu ir B P(B)tikimybę.

Atkreipkite dėmesį, kad mums to reikia, P(B) > 0nes nėra prasmės kalbėti apie A tikimybę B, jei B įvykti neįmanoma.

Mes taip pat galime apskaičiuoti įvykio A tikimybę, atsižvelgiant į kelių įvykių B1, B2, ..., Bn atsiradimą:

P(A|B1,B2,...,Bn) = P(A,B1,B2,...,Bn)/P(B1,B2,...,Bn) 

Yra dar vienas sąlyginių zondų skaičiavimo būdas. Tokiu būdu yra vadinamoji Bayeso teorema.

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) P(A|B1,B2,...,Bn) = P(B1,B2,...,Bn|A)P(A)/P(B1,B2,...,Bn) 

Atkreipkite dėmesį, kad mes apskaičiuojame įvykio A tikimybę atsižvelgiant į įvykį B, apversdami įvykių atsiradimo tvarką.

Dabar mes manome, kad įvykis A įvyko ir norime apskaičiuoti įvykio B (arba įvykių B1, B2, ..., Bn antrame ir bendresniame pavyzdyje) problemą.

Svarbus faktas, kurį galima išgauti iš šios teoremos, yra apskaičiavimo formulė P(B1,B2,...,Bn,A). Tai vadinama tikimybių grandinės taisykle.

P(B1,B2,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2,B3,...,Bn,A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)P(B3, B4, ..., Bn, A) = P(B1 | B2, B3, ..., Bn, A)P(B2 | B3, B4, ..., Bn, A)...P(Bn | A)P(A) 

Tai negraži formulė, ar ne? Tačiau esant tam tikroms sąlygoms galime išspręsti problemą ir jos išvengti.

Pakalbėkime apie paskutinę sąvoką, kurią turime žinoti, kad suprastume algoritmus.

Nepriklausomybė

Paskutinė koncepcija, apie kurią kalbėsime, yra nepriklausomybė. Mes sakome, kad įvykiai A ir B yra nepriklausomi, jei

P(A|B) = P(A) 

Tai reiškia, kad įvykio A tikimybei įtakos neturi įvykis B. Tiesioginė pasekmė yra ta P(A,B) = P(A)P(B).

Kalbant paprastai, tai reiškia, kad tiek A, tiek B įvykio vienu metu tikimybė yra lygi A ir B įvykių, vykstančių atskirai, sandaugai.

Jei A ir B yra nepriklausomi, tai taip pat teigia, kad:

P(A,B|C) = P(A|C)P(B|C) 

Dabar mes pasirengę kalbėti apie Naive Bayes klasifikatorius!

Naivūs Bayes klasifikatoriai

Tarkime, mes turime vektorių Xn funkcijų ir mes norime nustatyti, kad vektoriaus klasę iš rinkinio k klasių Y1, Y2, ..., yk . Pavyzdžiui, jei norime nustatyti, ar šiandien lys, ar ne.

Turime dvi galimas klases ( k = 2 ): lietus , o ne lietus , o požymių vektoriaus ilgis gali būti 3 ( n = 3 ).

Pirmoji funkcija gali būti debesuota ar saulėta, antroji - ar drėgmė aukšta, ar maža, ir trečioji - ar aukšta, ar vidutinė, ar žema temperatūra.

Taigi, tai gali būti galimi funkcijų vektoriai.

Mūsų užduotis yra nustatyti, ar lynos, ar ne, atsižvelgiant į oro ypatybes.

Sužinojus apie sąlygines tikimybes, atrodo natūralu kreiptis į problemą bandant apskaičiuoti lietaus tikimybę atsižvelgiant į šias savybes:

R = P(Rain | Cloudy, H_High, T_Low) NR = P(NotRain | Cloudy, H_High, T_Low) 

Jei R > NRatsakysime, kad lyja, kitaip sakome, kad nelyja.

Apskritai, jei turime k klases y1, y2, ..., yk ir n ypatybių vektorių X = , norime rasti yi klasę, kuri maksimaliai padidina

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn, yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra pastovus ir jis nepriklauso nuo yi klasės . Taigi, mes galime to nepaisyti ir sutelkti dėmesį į skaitiklį.

In a previous section, we saw how to calculate P(X1, X2,..., Xn, yi) by decomposing it in a product of conditional probabilities (the ugly formula):

P(X1, X2,..., Xn, yi) = P(X1 | X2,..., Xn, yi)P(X2 | X3,..., Xn, yi)...P(Xn | yi)P(yi) 

Assuming all the features Xi are independent and using Bayes's Theorem, we can calculate the conditional probability as follows:

P(yi | X1, X2,..., Xn) = P(X1, X2,..., Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

And we just need to focus on the numerator.

By finding the class yi that maximizes the previous expression, we are classifying the input vector. But, how can we get all those probabilities?

How to calculate the probabilities

When solving these kind of problems we need to have a set of previously classified examples.

For instance, in the problem of guessing whether it'll rain or not, we need to have several examples of feature vectors and their classifications that they would be obtained from past weather forecasts.

So, we would have something like this:

...  -> Rain  -> Not Rain  -> Not Rain ... 

Suppose we need to classify a new vector . We need to calculate:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain)P(H_Low | T_Low, Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

We get the previous expression by applying the definition of conditional probability and the chain rule. Remember we only need to focus on the numerator so we can drop the denominator.

We also need to calculate the prob for NotRain, but we can do this in a similar way.

We can find P(Rain) = # Rain/Total. That means counting the entries in the dataset that are classified with Rain and dividing that number by the size of the dataset.

To calculate P(Cloudy | H_Low, T_Low, Rain) we need to count all the entries that have the features H_Low, T_Low and Cloudy. Those entries also need to be classified as Rain. Then, that number is divided by the total amount of data. We calculate the rest of the factors of the formula in a similar fashion.

Making those computations for every possible class is very expensive and slow. So we need to make assumptions about the problem that simplify the calculations.

Naive Bayes Classifiers assume that all the features are independent from each other. So we can rewrite our formula applying Bayes's Theorem and assuming independence between every pair of features:

P(Rain | Cloudy, H_Low, T_Low) = P(Cloudy | Rain)P(H_Low | Rain)P(T_Low | Rain)P(Rain)/P(Cloudy, H_Low, T_Low) 

Now we calculate P(Cloudy | Rain) counting the number of entries that are classified as Rain and were Cloudy.

The algorithm is called Naive because of this independence assumption. There are dependencies between the features most of the time. We can't say that in real life there isn't a dependency between the humidity and the temperature, for example. Naive Bayes Classifiers are also called Independence Bayes, or Simple Bayes.

The general formula would be:

P(yi | X1, X2, ..., Xn) = P(X1 | yi)P(X2 | yi)...P(Xn | yi)P(yi)/P(X1, X2, ..., Xn) 

Remember you can get rid of the denominator. We only calculate the numerator and answer the class that maximizes it.

Now, let's implement our NBC and let's use it in a problem.

Let's code!

I will show you an implementation of a simple NBC and then we'll see it in practice.

The problem we are going to solve is determining whether a passenger on the Titanic survived or not, given some features like their gender and their age.

Here you can see the implementation of a very simple NBC:

class NaiveBayesClassifier: def __init__(self, X, y): ''' X and y denotes the features and the target labels respectively ''' self.X, self.y = X, y self.N = len(self.X) # Length of the training set self.dim = len(self.X[0]) # Dimension of the vector of features self.attrs = [[] for _ in range(self.dim)] # Here we'll store the columns of the training set self.output_dom = {} # Output classes with the number of ocurrences in the training set. In this case we have only 2 classes self.data = [] # To store every row [Xi, yi] for i in range(len(self.X)): for j in range(self.dim): # if we have never seen this value for this attr before, # then we add it to the attrs array in the corresponding position if not self.X[i][j] in self.attrs[j]: self.attrs[j].append(self.X[i][j]) # if we have never seen this output class before, # then we add it to the output_dom and count one occurrence for now if not self.y[i] in self.output_dom.keys(): self.output_dom[self.y[i]] = 1 # otherwise, we increment the occurrence of this output in the training set by 1 else: self.output_dom[self.y[i]] += 1 # store the row self.data.append([self.X[i], self.y[i]]) def classify(self, entry): solve = None # Final result max_arg = -1 # partial maximum for y in self.output_dom.keys(): prob = self.output_dom[y]/self.N # P(y) for i in range(self.dim): cases = [x for x in self.data if x[0][i] == entry[i] and x[1] == y] # all rows with Xi = xi n = len(cases) prob *= n/self.N # P *= P(Xi = xi) # if we have a greater prob for this output than the partial maximum... if prob > max_arg: max_arg = prob solve = y return solve 

Here, we assume every feature has a discrete domain. That means they take a value from a finite set of possible values.

The same happens with classes. Notice that we store some data in the __init__ method so we don't need to repeat some operations. The classification of a new entry is carried on in the classify method.

This is a simple example of an implementation. In real world applications you don't need (and is better if you don't make) your own implementation. For example, the sklearn library in Python contains several good implementations of NBC's.

Notice how easy it is to implement it!

Now, let's apply our new classifier to solve a problem. We have a dataset with the description of 887 passengers on the Titanic. We also can see whether a given passenger survived the tragedy or not.

So our task is to determine if another passenger that is not included in the training set made it or not.

In this example, I'll be using the pandas library to read and process the data. I don't use any other tool.

The data is stored in a file called titanic.csv, so the first step is to read the data and get an overview of it.

import pandas as pd data = pd.read_csv('titanic.csv') print(data.head()) 

The output is:

Survived Pclass Name \ 0 0 3 Mr. Owen Harris Braund 1 1 1 Mrs. John Bradley (Florence Briggs Thayer) Cum... 2 1 3 Miss. Laina Heikkinen 3 1 1 Mrs. Jacques Heath (Lily May Peel) Futrelle 4 0 3 Mr. William Henry Allen Sex Age Siblings/Spouses Aboard Parents/Children Aboard Fare 0 male 22.0 1 0 7.2500 1 female 38.0 1 0 71.2833 2 female 26.0 0 0 7.9250 3 female 35.0 1 0 53.1000 4 male 35.0 0 0 8.0500 

Notice we have the Name of each passenger. We won't use that feature for our classifier because it is not significant for our problem. We'll also get rid of the Fare feature because it is continuous and our features need to be discrete.

There are Naive Bayes Classifiers that support continuous features. For example, the Gaussian Naive Bayes Classifier.

y = list(map(lambda v: 'yes' if v == 1 else 'no', data['Survived'].values)) # target values as string # We won't use the 'Name' nor the 'Fare' field X = data[['Pclass', 'Sex', 'Age', 'Siblings/Spouses Aboard', 'Parents/Children Aboard']].values # features values 

Then, we need to separate our data set in a training set and a validation set. The later is used to validate how well our algorithm is doing.

print(len(y)) # >> 887 # We'll take 600 examples to train and the rest to the validation process y_train = y[:600] y_val = y[600:] X_train = X[:600] X_val = X[600:] 

We create our NBC with the training set and then classify every entry in the validation set.

We measure the accuracy of our algorithm by dividing the number of entries it correctly classified by the total number of entries in the validation set.

## Creating the Naive Bayes Classifier instance with the training data nbc = NaiveBayesClassifier(X_train, y_train) total_cases = len(y_val) # size of validation set # Well classified examples and bad classified examples good = 0 bad = 0 for i in range(total_cases): predict = nbc.classify(X_val[i]) # print(y_val[i] + ' --------------- ' + predict) if y_val[i] == predict: good += 1 else: bad += 1 print('TOTAL EXAMPLES:', total_cases) print('RIGHT:', good) print('WRONG:', bad) print('ACCURACY:', good/total_cases) 

The output:

TOTAL EXAMPLES: 287 RIGHT: 200 WRONG: 87 ACCURACY: 0.6968641114982579 

It's not great but it's something. We can get about a 10% accuracy improvement if we get rid of other features like Siblings/Spouses Aboard and Parents/Children Aboard.

You can see a notebook with the code and the dataset here

Conclusions

Today, we have neural networks and other complex and expensive ML algorithms all over the place.

NBCs are very simple algorithms that let us achieve good results in some classification problems without needing a lot of resources. They also scale very well, which means we can add a lot more features and the algorithm will still be fast and reliable.

Even in a case where NBCs were not a good fit for the problem we were trying to solve, they might be very useful as a baseline.

We could first try to solve the problem using an NBC with a few lines of code and little effort. Then we could try to achieve better results with more complex and expensive algorithms.

This process can save us a lot of time and gives us an immediate feedback about whether complex algorithms are really worth it for our task.

Šiame straipsnyje skaitote apie sąlygines tikimybes, nepriklausomybę ir Bayeso teoremą. Tai yra „Naive Bayes“ klasifikatorių matematinės sąvokos.

Po to pamatėme paprastą NBC įgyvendinimą ir išsprendėme problemą, nustatant, ar „Titaniko“ keleivis išgyveno avariją.

Tikiuosi, kad šis straipsnis jums buvo naudingas. Galite skaityti su kompiuterių mokslu susijusiomis temomis mano asmeniniame tinklaraštyje ir stebėdami mane „Twitter“.